面试官问:为什么选择 B+ 树作为数据库索引结构?

首先,来谈谈B树。为什么要使用B树?我们需要明白以下两个事实:

【事实1】

不同容量的存储器,访问速度差异悬殊。以磁盘和内存为例,访问磁盘的时间大概是ms级的,访问内存的时间大概是ns级的。有个形象的比喻,若一次内存访问需要1秒,则一次外存访问需要1天。所以,现在的存储系统,都是分级组织的。最常用的数据尽可能放在更高层、更小的存储器中,只有在当前层找不到,才向更低层、更大的存储器中寻找。这也就解释了,当处理大规模数据的时候(指无法将数据一次性存入内存),算法的实际运行时间,往往取决于数据在不同存储级别之间的IO次数。因此,要想提升速度,关键在于减少IO。

【事实2】

磁盘读取数据是以数据块(block)(或者:页,page)为基本单位的,位于同一数据块中的所有数据都能被一次性全部读取出来。换句话说,从磁盘中读1B,与读1KB几乎一样快!因此,想要提升速度,应该利用外存批量访问的特点,在一些文章中,也称其为磁盘预读。系统之所以这么设计,是基于一个著名的局部性原理:

当一个数据被用到时,其附近的数据也通常会马上被使用,程序运行期间所需要的数据通常比较集中

B树

假设有10亿条记录(1000*1000*1000),如果使用平衡二叉搜索树(Balanced Binary Search Tree, BBST),最坏的情况下,查找需要log(2, 10^9) = 30次 I/O 操作,且每次只能读出一个关键字(即如果这次读出来的关键字不是我要查找的,就要再进行一次I/O去读取数据)。如果换成B树,会是怎样的情况呢?

B 树是为了磁盘或其它辅助存储设备而设计的一种多叉平衡搜索树。多级存储系统中使用B树,可针对外部查找,大大减少I/O次数。通过B树,可充分利用外存对批量访问的高效支持,将此特点转化为优点。每下降一层,都以超级结点为单位(超级结点就是指一个结点内包含多个关键字),从磁盘中读入一组关键字。那么,具体多大为一组呢?

一个节点存放多少数据视磁盘的数据块大小而定,比如磁盘中1 block的大小有1024KB,假设每个关键字的大小为 4 Byte,则可设定每一组的大小m = 1024 KB / 4 Byte = 256。目前,多数数据库系统采用 m = 200~300。假设取m = 256,则B树存储1亿条数据的树的高度大概是 log(256, 10^9) = 4,也就是单次查询所需要进行的I/O次数不超过 4 次,由此大大减少了I/O次数。

一般来说,B树的根节点常驻于内存中,B树的查找过程是这样的:首先,由于一个节点内包含多个(比如,是256个)关键码,所以需要先顺序/二分来查找,如果找到则查找成功;如果失败,则根据相应的引用从磁盘中读入下一层的节点数据(这里就涉及到一次磁盘I/O),同样的在节点内顺序查找,如此往复进行...事实上,B树查找所消耗的时间很大一部分花在了I/O上,所以减少I/O次数是非常重要的。

B树的定义

B树就是平衡的多路搜索树,所谓的m阶B树,即m路平衡搜索树。根据维基百科的定义,一棵m阶B树需满足以下要求:

1. 每个结点至多含有m个分支节点(m>=2)。

2. 除根结点之外的每个非叶结点,至少含有┌m/2┐个分支。

3. 若根结点不是叶子结点,则至少有2个孩子。

4. 一个含有k个孩子的非叶结点包含k-1个关键字。 (每个结点内的关键字按升序排列)

5. 所有的叶子结点都出现在同一层。实际上这些结点并不存在,可以看作是外部结点。

根据节点的分支的上下限,也可以称其为(┌m/2┐, m)树。比如,阶数m=4时,这样的B树也可以称为(2,4)树。(事实上,(2,4)树是一棵比较特殊的B树,它和红黑树有着特别的渊源!后面谈及红黑树时会谈到。)

并且,每个内部结点的关键字都作为其子树的分隔值。比如,某结点含有2个关键字(假设为a1和a2),也就是说该结点含有3个子树。那么,最左子树的关键字均小于a1;中间子树的关键字介于a1~a2;最右子树的关键字均大于a2。

示例,一棵3阶的B树是这个样子:

B树的高度(了解)

假定一棵B树非空,具有n个关键字、高度为h(令根结点为第1层)、阶数为m,那么该B树的最大高度和最小高度分别是多少?

最大高度

当树的高度最大时,则每个结点含有的关键字数应该尽量少。根据定义,根结点至少有2个孩子(即1个关键字),除根结点之外的非叶结点至少有┌m/2┐个孩子(即┌m/2┐-1个关键字),为了描述方便,这里令p = ┌m/2┐。

第1层 1个结点  (含1个关键字)
第2层 2个结点  (含2*(p-1)个关键字)
第3层 2p个结点 (含2p*(p-1)^2个关键字)
...
第h层 2p^(h-2)个结点
故总的结点个数n
≥ 1+(p-1)*[2+2p+2p^2+...+2p^(h-2)]
≥ 2p^(h-1)-1
从而推导出 h ≤ log_p[(n+1)/2] + 1 (其中p为底数,p=┌m/2┐)

最小高度

当树的高度最低时,则每个结点的关键字都至多含有m个孩子(即m-1个关键字),则有

n ≤ (m-1)*(1 + m + m^2 +...+ m^(h-1)) = m^h - 1
从而推导出 h ≥ log_m(n+1)  (其中m为底数)

B+树

B+树的定义

B+树是B树的一个变体,B+树与B树最大的区别在于:

1. 叶子结点包含全部关键字以及指向相应记录的指针,而且叶结点中的关键字按大小顺序排列,相邻叶结点用指针连接。

2. 非叶结点仅存储其子树的最大(或最小)关键字,可以看成是索引。

一棵3阶的B+树示例:(好好体会和B树的区别,两者的关键字是一样的)

问:为什么说B+树比B树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引?

答:

1. B+树更适合外部存储。由于内结点不存放真正的数据(只是存放其子树的最大或最小的关键字,作为索引),一个结点可以存储更多的关键字,每个结点能索引的范围更大更精确,也意味着B+树单次磁盘IO的信息量大于B树,I/O的次数相对减少。

2. MySQL是一种关系型数据库,区间访问是常见的一种情况,B+树叶结点增加的链指针,加强了区间访问性,可使用在区间查询的场景;而使用B树则无法进行区间查找。

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